Производная по направлению

Пусть заданы $f(\mathbf{x})$, определенная в окрестности $\mathbf{x^0}$ (где $\mathbf{x^0} = (x^0_1, \dots, x^0_m)$) и единичный вектор $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_m)$, $||\mathbf{a}||_2 = 1$. Производной функции $f$ по направлению $\mathbf{a}$ в точке $\mathbf{x^0}$ называют: $$\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{a}} (\mathbf{x^0}) = \lim\limits_{t \to +0} \dfrac{f(x^0_1 + a_1 t,\dots,x^0_m + a_m t) - f(x^0_1,\dots,x^0_m)}{t}$$

Определение выше эквивалентно следующему: $$\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{a}}(\mathbf{x}^{0}) = \operatorname{grad}f(\mathbf{x}^{0}) \cdot \mathbf{a}$$

Сделаем замену на сложную функцию, получим: $$g(t) = f(\mathbf{x}^{0} + \mathbf{a}t)$$ $$\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{a}}(\mathbf{x}^{0}) = \lim_{t \to +0} \dfrac{g(t) - g(0)}{t} = g'(0)$$ По дифференцируемости сложной функции: $$g'(0) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}^0)a_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}^0)a_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(\mathbf{x}^0)a_m$$ Заметим, что это в точности равно: $$g'(0) = \operatorname{grad}f(\mathbf{x}^{0}) \cdot \mathbf{a}$$ $\square$